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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 j@z| X!/L  
;x`_JXK3  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. vv?aS0"  
H@ZHvma-  
　　1、三角函数本质： :K. N7<}db  
TLI/4C$q  
　　三角函数的本质来源于定义 %mL90PQ!a  
w'3LtS=  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 yyzzunj-3  
C wi] TR%K  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Rr"  
rN97GBa  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `}]Dh_(*y  
^hd|%DE=  
　　推导： Zb[WWq&\  
oUO=-VJ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 8}Yh&{  
k3H5_jQ4:  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +ov<wNT|  
X_sX Sh4T  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) V$t{h<  
~vc+C :8  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 LkS\ ^  
{'vUR'J"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） a&u&:$;#  
`W@*J&Q$  
　　[1] 'CHks kk  
TE@yWd<O  
　　两角和公式 xdr=P:>  
D2su};Q>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 4p:6i<8  
p6R" =  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  y/ZE5 #  
%? EybyG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB xM_uDj>BW  
{[5\/vP  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB -P*P ^\Qr  
;-97SxT>g  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [=>T 3>  
an^;m6Wh  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }QL@(=0  
L=W\Q z  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  B{i1>L  
O+xjFU8nbt  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) bMs*1tP}  
`j ou)x  
倍角公式 J1(<%L  
hc%a1S  
　　Sin2A=2SinA•CosA dlTqQ  
 b :[YQ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 F4-f%-U  
t/O2_n  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |L%yJ1ez  
h }WB6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .xg 8W5$  
drw-[6  
三倍角公式 Ga~ o+i~  
tOg$(OAH  
　　 N;PRb 1?c  
:{s::l z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (~d5Qn/\  
/f^h?DH{ Y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) w(HM'Ts^  
^A6o<~uz  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) o)D4|%qF  
fRw ]$  
三倍角公式推导 y{Ly^DD`>C  
w(O-\  
　　sin3a 8z> _O$  
~inA=<  
　　=sin(2a+a) 2-J4e&  
?km{~qW  
　　=sin2acosa+cos2asina M^b=(vK$<E  
9N)ht$W^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /I)XjH< D8  
PM'D3EU}-j  
　　=3sina-4sin³a !tTPny=E~  
:o~OL3b  
　　cos3a ^g'Z aJ  
_`Pb`?>`S8  
　　=cos(2a+a) $Fsz{;S 8  
NU)&Z%  
　　=cos2acosa-sin2asina \A#{e'zY%  
yzh.`ho T  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D i+W   
~JZ$&  
　　=4cos³a-3cosa h f0qI%W  
Wx&w7W`e  
　　sin3a=3sina-4sin³a VA&n>A|RL  
49c:y&+S  
　　=4sina(3/4-sin²a) <KeXNbW  
&(uLsz>Hk  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Sq_NL nmp  
797DgIA  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) dC:`pR+I  
MmseA~O  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) DY**m_  
^,3a|/o2s  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] M|fi@ c*Bk  
+?(7x;-L  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) |A5mw  
Ic'0 p.  
　　cos3a=4cos³a-3cosa b+3$9eay#  
\)-2B|2q  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 2ym8]y  
q8k(.n0  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] YA S\w  
<qzFB+b;?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) '/0W|Vk  
=(AD@~8R1A  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z{C8$Pp  
dUVY0CQ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} h/Mh9 )<=  
[Y7w~'p%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) cEfg?@}  
ba=,1  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] aj}mGEk  
N(@bV0'  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0V HL>""  
T'2PDVL  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) c :On!I9UT  
it;e&5Wzu5  
　　上述两式相比可得 ~jt8Ry  
lrdR[2 hf?  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6(k&dMIj  
/DvUCMI  
半角公式 3;$i{x%yR  
yS:5hJ0#F  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V3eOL q  
,Z6L"1nFC;  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ! gZ2 7P  
*JK]z/  
和差化积 >Z<zPQf/  
i895Aru  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OpcOWE'  
K(+* $`)  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {o53b1&  
]/ ePzf:  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] YS e7Hr  
8v^Ooo.  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6*o&] 2A  
Z-<vO0 S  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h{v[G3V`!  
NY:i/Iw  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !=d}yU4=^[  
pH2p gJ  
积化和差 PwFPiM>-  
"tVg#:p  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q\&'P"7  
z 6TJ38  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4x "t'  
PFrhZHBEx  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /v 4 >@}  
0!>}<cf}1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] I.{)[t"  
~;5d4cwC2I  
诱导公式 W~iL; tH(  
bAu 8$rE  
　　sin(-α) = -sinα -t`Vdrlr0w  
,tq0mx}p  
　　cos(-α) = cosα ? swSnz4  
Qhm1vi  
　　sin(π/2-α) = cosα a6DKQhE|  
58 kGU&7b  
　　cos(π/2-α) = sinα x){bhna[3  
}tU>C6m  
　　sin(π/2+α) = cosα a"a4"+l-  
LZ~0lEs(c  
　　cos(π/2+α) = -sinα yomLVHT  
}#$b9  
　　sin(π-α) = sinα , awk=[  
UC;:JO @  
　　cos(π-α) = -cosα C6sc%#58  
s,!DSTiZ;  
　　sin(π+α) = -sinα aqdNJ}  
5D0/oH  
　　cos(π+α) = -cosα G81S5>  
D$50d>'t  
　　tanA= sinA/cosA tU1_;OAc  
/&9r-og  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ]eGwkuAD?#  
Ui?+]*[X-q  
　　tan（π/2－α）＝cotα 1i^jAN_<  
|OZQ28 '  
　　tan（π－α）＝－tanα \ZiD</s`  
s ,7)5e  
　　tan（π＋α）＝tanα K Ci8o}K  
M<G(^If`$Q  
万能公式 EIxZ i  
Z][|L{N?"  
　　 M_ 8?xbj  
DJy R%/  
其它公式 Vi2x=eV  
+srz;XT  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 n=2tOEg  
acY#8:`9>  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 c f+g3c^>  
uy`4be5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 YSg{c  
}W?ZBAz  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ;"2v~uS}Y  
zY_Dyo  
　　对于任意非直角三角形,总有 `%Fu*g[gh  
UnBgJbZ13  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC S2%aD_ 4<  
B@;KPZ  
　　证: Vt;-hle:k  
x ` mW|m]  
　　A+B=π-C Ky_?o4ar  
|wF:R`I9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,4k[1}13  
F{_ +&lc]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &BzP xItE  
<k95E+}  
　　整理可得 bp (Vb  
"Y2Z]E'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC wM=q];:'  
iea~RY%r$@  
　　得证 _L@%Tr,  
 k~DQW  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 E{4o u{  
h Xt.Y&  
其他非重点三角函数 0\J2=>q  
z9M8tFI2  
　　csc(a) = 1/sin(a) DkB=se3i  
eRvd8n(9)Q  
　　sec(a) = 1/cos(a) o}'J@  
D. 3CW#7  
　　 5)Q/@9y  
c'02r(Cb  
双曲函数 S5{!6+y^(  
YmW=Bn|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 db$]XN  
T\WfReDo  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p\&0w@1  
6|_ c T"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Xk=9 (d_  
0q!\l$)4  
　　公式一： {2#:y7&vQ  
xzz O4*  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： `1) y {8  
OXJ [8iXR  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 1~*3;o}G  
Myz0y2:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα , p)P+V}}`  
LV]6E\J;  
　　tan（kπ＋α）= tanα i\ZeK0nt  
@3"BUtw  
　　cot（kπ＋α）= cotα nqpq'^1wk  
g+f-{:w  
　　公式二： rO.^P3(>  
nf+^a/_ I  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： N9 Lb  
E`593bg  
　　sin（π＋α）= -sinα #GhJ`A  
ssTw /Dd/  
　　cos（π＋α）= -cosα ~*7 :2v-G  
PF)=5b!  
　　tan（π＋α）= tanα 3 -+Yt  
v/`ts_\R@  
　　cot（π＋α）= cotα QX&T }tnK  
uY8U 1H  
　　公式三： |gMzg2  
hFOX/gZ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :71@5R]V8  
n9MrSP  
　　sin（-α）= -sinα kSsSN^^WT  
8s0 vY9  
　　cos（-α）= cosα kuI1Q&)x  
k Lr]73B'a  
　　tan（-α）= -tanα "F$F X*C  
y4aF 7l  
　　cot（-α）= -cotα g%' %#|a  
<~u]F0@l^  
　　公式四： ?FUQZ O+  
T~,(|U3PS  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： y=&Q#cA  
: kqA(2  
　　sin（π-α）= sinα 'DNn_%i9  
o=8kJG/\  
　　cos（π-α）= -cosα !\S5]+03R  
!2Gb/o4  
　　tan（π-α）= -tanα 9My>qd  
#~ox-*sK  
　　cot（π-α）= -cotα :E*UaK   
>}w&xl#_  
　　公式五： w{'34n.!qf  
W8to:s:  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ER4S]w  
IS.<SAS,  
　　sin（2π-α）= -sinα sPll*DLY\p  
L2QJQ6y  
　　cos（2π-α）= cosα utX[<,F7  
Ptv*,j&T  
　　tan（2π-α）= -tanα qY4 b5'b  
GNWm%lK<  
　　cot（2π-α）= -cotα y%o&hvh-+  
Pq>3;t(  
　　公式六： }l 7$L  
q<<^ GS  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： c @.#fmT]  
{lS.$vI  
　　sin（π/2+α）= cosα fJY/IP%)  
Nq4Q$@p>}  
　　cos（π/2+α）= -sinα )CE>z58  
2'-Jo'dU  
　　tan（π/2+α）= -cotα $40s:@!+  
:OOR8Cr-b  
　　cot（π/2+α）= -tanα *;^>[Ua{{  
}\CM.!Gj],  
　　sin（π/2-α）= cosα 57tT  
V4Us#y%h  
　　cos（π/2-α）= sinα n tHY D \  
taC;:1D;!  
　　tan（π/2-α）= cotα k1O3"X$L$  
Kw #=n&L0  
　　cot（π/2-α）= tanα "yBp9-HI  
>|q S9f*  
　　sin（3π/2+α）= -cosα .=1e/E@  
k:! ~q  
　　cos（3π/2+α）= sinα C'SrUuGc&  
NiC;3\B6\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^97\RU-d  
mx%.;bYJb  
　　cot（3π/2+α）= -tanα "CB$]xB|  
";+CUJ+_  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ,5\1&.`g  
"x{H2.6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα cY'tIbH@  
To- rvt3u  
　　tan（3π/2-α）= cotα :GG4L"d  
j`(<fR6U  
　　cot（3π/2-α）= tanα U9r]EdMN]F  
SC~<OMQXf  
　　(以上k∈Z) ]"yAHnq  
Gh0+;"  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 y;E3ev"6@  
& Z56 xy  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = fFAc`aQ  
q b^l)Sio  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $)MI!Bp  
,y<jP=%<o  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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