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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Qhea&4_k  
m/v,W=`  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  z.GO'  
QQ~ ph0  
　　1、三角函数本质： Zu 2 ddo  
.Yl7"-  
　　三角函数的本质来源于定义 BtCGA/a  
rC.O>c}A  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 iKJDfeO%JE  
F%N-TJ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 o&m4U~b9  
tNWE>>{v7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7gCQ QtZ  
!u0iAuNj  
　　推导： :%74 b^O  
7]|FG< s  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 dxo+x:G,U]  
O "y'A@,{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) pf*.pa&5  
Zg:N3e1qa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) !Z2(d5Q-K  
2%p{7jJo  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I]~IL\Y  
_xFfYT  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Zg%$Fh\  
Y)0&]jPC?  
　　[1] Rc0xXI6]c  
z?FDIV  
　　两角和公式 Mp^;_m  
U>w 1-J  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB P"&'!.M@!}  
%Cg^R}4  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3==vt_`Q  
\fxX 1s  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (dJ:-lnG)  
V~kg{=7c  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB R%Y2,e'G  
J_ =T{V  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) B^)RM jzT  
EEH DJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Q] 7fM=D  
%tw#fEO8  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  '$3&I_{  
=EVfLQ(  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) xY1 jQYr  
Fms"e  
倍角公式 `2z+.rsCm  
=&U$aQ=$n  
　　Sin2A=2SinA•CosA 4q0 xb'8  
Ey'Fj$v  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 LYoq4)T  
[j(\}  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） mpkJb!v  
2)H`u4?VZ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） :74D~wk1&  
|R{k+DIkp  
三倍角公式 RiZ#. 'b  
\"Y95XZK  
　　 7 kw59C-J  
'#1wOQ.o  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) K*pjep=6^  
_F\< F  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 2f$v8  
'\oWNe3<`  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) i"pHL?,q  
j)bwp BE  
三倍角公式推导 weH1 Y  
Vv]3%B-*X  
　　sin3a [z\ 6!H  
Cd"$=Buk  
　　=sin(2a+a) 8d@& CXv  
 xk?}O'F  
　　=sin2acosa+cos2asina %'=Ku  
zi-J ./f%  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina {A"R  
A(z_9BHl{q  
　　=3sina-4sin³a =uKs</  
g Af>(  
　　cos3a ,t'<T-9C  
`7,AY4{  
　　=cos(2a+a) H& I9. Ip  
sY,i"z"_  
　　=cos2acosa-sin2asina +LWE$-lTA  
:&DM3q/h  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 3S#nVO|l%  
N=8\;:^`  
　　=4cos³a-3cosa ohU2!V  
.B6YMv:~c  
　　sin3a=3sina-4sin³a Hs g.@yEk  
xm\.\  
　　=4sina(3/4-sin²a) -R(jX|pj  
_5wA# '"U  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] cLl Xl>=P  
K-j]jNW  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 9 $"nqQ0f  
_2,Bqs. v=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eyMZ( j{<  
73E1,Z^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {$U37V"[J  
,rkMGDtO  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) T3D 13Rz  
obp-Go!R  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 5VnQEu  
TBo1WG/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) %M5'9z*  
:x. r;U  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] (@yE<Dy `  
k"d^lg);  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Eo+h?l7ty"  
i|9Qx$Q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) zyg ^>e3  
D96%eL  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} \:X6m^\lV  
z:ESo4iy  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) jw5LH  
#uHAVKL!2  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] YUP[,/UX/  
a;+kr G86  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] >ph:fS0-F  
+JRX[Jd  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) yq:RUffDl  
'|"V  
　　上述两式相比可得 4633rPa$  
UFrz3m(?  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  UnQzb  
ID#SZ<  
半角公式 cZp4\&m  
pRq&krUJ  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 6'Rn N]qa  
-3.Jd/sU  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. GN.4d plJ  
AR<#jb  
和差化积 3wV)h6 Q  
/q:*-0i  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s(=CV G  
3X ul\O~  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c#u_>=J  
SJe_~g="&  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :y ==W~K  
oMGoq)h?zK  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _,gV2EU   
DYb{9KN  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) J6BI s/Z  
ps_[f\-C  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) b3Vo H2{  
X {ID Y=B  
积化和差 1: 1DA2SH  
pGNZ   
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] O G5N~G^  
9H#p`AV  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .sl3nM  
!.~@7|Fb`  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +$ETqxC  
1's" U?eT  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] IGNGC3rT`l  
O?]yTnZH  
诱导公式 @Ql7svM}  
<Hu*,wM`@  
　　sin(-α) = -sinα BO$,f CP`)  
<Np dbS4  
　　cos(-α) = cosα  E<<^0D\  
]Lp`|+vxxv  
　　sin(π/2-α) = cosα ?l!#)w f3y  
nXnF,eOV  
　　cos(π/2-α) = sinα 5$U'rq  
=d0["G74  
　　sin(π/2+α) = cosα j&F;ty X  
)HG}<g>PKd  
　　cos(π/2+α) = -sinα {2#7  
kQ lqqs  
　　sin(π-α) = sinα ?G3Offm  
\kq%V %  
　　cos(π-α) = -cosα 43~0{  
HPDg>$  
　　sin(π+α) = -sinα =|zwtPc  
%k0x;ysyE  
　　cos(π+α) = -cosα /%]I7/]Z  
V}Bq!#C[  
　　tanA= sinA/cosA T,(kH\4  
B@P4-^x  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα r@@ %g h  
Gy2';8yY  
　　tan（π/2－α）＝cotα (}+vJvk  
JA[1F5%  
　　tan（π－α）＝－tanα %K0W+YWE  
9w_#,F\o  
　　tan（π＋α）＝tanα U+* 3yp8Q  
Gt;0;R  
万能公式 ism^~,m&  
|$YqD 7  
　　 aIM,34?G  
F dkK#  
其它公式 -'( R^  
1''/50KR  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 "Y1qE l  
fx}J-+`  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [WlYXK_Y?f  
06nn_X!  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gFhJaf&\  
9]yC3ZU+S  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 dx2.[>hU H  
sN1$-nS  
　　对于任意非直角三角形,总有 F,};vOT~  
D6n(3oTQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;jsQ/6Tul  
;Gcun8  
　　证: *<> %X9N  
JjZM\/  
　　A+B=π-C z!C"!X<  
H[iF.W A  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ? fh:6E=w1  
Efb*!gE&X  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) xArvMXQ|o  
"niZ:(<  
　　整理可得 l"l[_D  
J>-F)vq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC vtk6#O$  
4bl:E  
　　得证 8hCPq.  
OR hRO'C  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 &aD La**N  
#4\fx [hb?  
其他非重点三角函数 A`kmhP&a  
(KHXnb]   
　　csc(a) = 1/sin(a) A.Jc`~{  
0W4qj3af  
　　sec(a) = 1/cos(a) ((u]*LjFW  
7 End6|x  
　　 (eda)ewE  
KS$eiTs  
双曲函数 @_ Yt@a`  
~Me P73;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 9(0rfrak  
0$. 6~G  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 s|xdNeY  
|S0* rMqk$  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) :|xm[*  
rVIa `:a  
　　公式一： 936BAQM  
cC/78e  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： \+'~> ,1K  
_-[*Sg  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 88RMaA.>3  
p6= TnT#  
　　cos（2kπ＋α）= cosα L "Ms>  
X;]0b!Y  
　　tan（kπ＋α）= tanα cI,o[1v7  
'ar X1  
　　cot（kπ＋α）= cotα W9a,1$c  
$iIYhZ+t  
　　公式二： CN1L9s  
>c \P5  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ,o\/0\CKq  
_AZKkvq  
　　sin（π＋α）= -sinα @8`|=bu/]  
#Vyz @]Zt  
　　cos（π＋α）= -cosα \6\Md<  
`MiQ\S"]i  
　　tan（π＋α）= tanα  <c=)ji)Q  
b*lD))`.$  
　　cot（π＋α）= cotα $AtPr0  
z+]4WS  
　　公式三： e~ @IX=*  
xsmXl3BY`  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "fccr/nD  
q3]VheN {t  
　　sin（-α）= -sinα Cv}tq@"  
#@E}Gs!7  
　　cos（-α）= cosα e>'cv[;E  
0~w._&.  
　　tan（-α）= -tanα {*h\y K-  
lVs "8COk6  
　　cot（-α）= -cotα Nu$] H   
8fZP&CPP)  
　　公式四： F[ Nvl?  
+xp pO9vn  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： tn_Q# ?r  
UQB <}Hj  
　　sin（π-α）= sinα h;SxTh|  
^dW`K{  
　　cos（π-α）= -cosα &/m+49!5Jh  
hQ"{]+`L"  
　　tan（π-α）= -tanα U>7Ty  
T<66)  
　　cot（π-α）= -cotα H(>{{$  
D'Z #_lnv2  
　　公式五： RgfNiExVz  
YzF+^O/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： _"xV <(  
H1NG[Bhv5  
　　sin（2π-α）= -sinα Q.UF@m  
= cXAFydY  
　　cos（2π-α）= cosα ;-S\ FG   
05sa!m>  
　　tan（2π-α）= -tanα %3Y 'L$1  
=$,U: /  
　　cot（2π-α）= -cotα $RjBG ;z  
Ds-bip$X  
　　公式六： @9h=xi! D9  
1PujL  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： dlL>@1im0  
zynv4'  
　　sin（π/2+α）= cosα 3yxGpm^  
N00,e  
　　cos（π/2+α）= -sinα lL1&WEz  
$Cos;@!"r  
　　tan（π/2+α）= -cotα {r~6$G$~+o  
<;PDS#mx=  
　　cot（π/2+α）= -tanα pmB+h?z  
!*U0# *9=  
　　sin（π/2-α）= cosα Uy4[ Dxj  
=SEk6Bs  
　　cos（π/2-α）= sinα ',>>kWr  
ufFqV[I!  
　　tan（π/2-α）= cotα KzKKJHT  
jTAb|N9  
　　cot（π/2-α）= tanα UK6CRj Lm  
#2^2 <\a  
　　sin（3π/2+α）= -cosα L!=E'}w2`  
1 Z0ZQA\N  
　　cos（3π/2+α）= sinα Hb|!mLUmh  
t6 }  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 854I=m  
Af 2T?y5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα _cJt  
hJd, Y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _FS/]i{ l5  
?n~ gy\  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #C"/Y[@  
}zYN{Qw A  
　　tan（3π/2-α）= cotα dB{~PSXD  
u0\xz#%  
　　cot（3π/2-α）= tanα zP0K$)e  
Dzn [ll  
　　(以上k∈Z) hw{:=%5  
C4OT Xz  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ;Z`:Me1  
=|W5I@,.  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = )x|@[  
A9DY}GJQ>  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +W 1cue^  
Z2$SyV' _  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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