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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _}3 8  
EI: Mg`y  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. )N e DI>  
{lO#5WwB  
　　1、三角函数本质： * W ~';)  
\TgU5  
　　三角函数的本质来源于定义 *LAQ,Wa^M  
hOR.E)v0  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <_(m`QNt,  
6?DHdGnF  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 yB*?&!x  
I0^5GmL6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Z3%sq{0  
8=~2RJsD  
　　推导： { 2LjOML  
]&gISw ^{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T.4.*  
GV}f.u k  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) adPr<+<7  
@w!!Z:iNV  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) !y k~cl  
eZau EF5  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 lG; ?>SYT  
Hb!5`/P`8B  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） hHGGk';  
U5,_=}r)>  
　　[1] GF;lds exP  
lNHn PC {  
　　两角和公式 `!50:5)  
>L%~i^ww  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB iKf7cRp  
1i3`kZ  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  x|';,+fNU  
7' EP\1&y  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB CrsZ`k}  
>u4#:m,  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB J'1DpAzE+  
(GsYV(4  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) *CsDq'Z|s  
) D@]?l@]o  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ,W"/o=8  
( |Nbjld  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  lvz=bl  
 O*\%%  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) '`' d$bt`o  
Th%FWv`p  
倍角公式 (X>/P_6E3  
  V?X@mu  
　　Sin2A=2SinA•CosA %2o FtxR  
F!*) o~?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;A\>Bm7~  
v@3),$'h  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >sRc/c5~|  
>+ U,Y= 8  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 1|!*lBj  
<|.[@pLW  
三倍角公式 K`QCEwn  
4awV3W'4u  
　　 ]`4y@H  
?rSuK#~$r`  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) h`KP,*}\  
M]T C`?  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x Iv04E1  
e73;'|ld  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) L}[YRhA  
3Bq];X*  
三倍角公式推导 %Q<CoJ/-=  
Kd&w5  
　　sin3a +u6?/ #  
],7NP<GO  
　　=sin(2a+a) \>mHDl~1  
K1O//'+7  
　　=sin2acosa+cos2asina j+t7,QJ  
>qYz"F*^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *I.2VI2n~  
YPi ep  
　　=3sina-4sin³a cN4s\p[71  
9:##+VYs,  
　　cos3a 9+J& S^j;  
mqL9- I7  
　　=cos(2a+a) /L,Z.9.Y  
NJe"u ,  
　　=cos2acosa-sin2asina fYA+.fDb  
>fB -}]  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <gSD\,  
UhX yMK  
　　=4cos³a-3cosa H1$_]n  
KJ>]beJ*P0  
　　sin3a=3sina-4sin³a T96MFb  
OPMOiMX~  
　　=4sina(3/4-sin²a) X3,z\:U  
r dcxT,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] E Ndh~qA  
+dQk'/j]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ZSedmr.$  
go.2H,FkT  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) I/+_E#  
E7q+g8P  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] u~I.R^X=  
:/j:YB  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2[I@Z9#  
6Do=C@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa y-Y<*]{-u  
1TQfF'{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @7U$(x)4  
4UdVe5<_  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8I>G;,ZTD  
 ~(HD  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $="M  
-(h |&S(  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ta_\lWnQ~  
6bF3 i-#^  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %uG.f/6  
Pk^,7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) e-anj>r Y;  
MB"kF1_/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] .OP 9X)  
dTbu>V  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] K:Lh^d`  
z{(:;HE  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) pr7s^lW,  
oO~ 0JSgP  
　　上述两式相比可得 ,Lbs^ ~  
E'7+usp1Ds  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) --40j``E  
Jb .9*Q%]  
半角公式 ?Wp>b:0bP  
|/ng+n= ,  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Kpw,w/Q3  
&](9 >MV  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. r?uPP  
f$jcz9UC  
和差化积 v78%7Lm.  
{1X9^a2  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [)% w|L.O<  
>u|qQ3^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] WzZ=K  
U_'^pFUg  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \?>7/XFN  
+`oy,!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] vD+gem  
c,8|>i6^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c6RpmG  
,6aGz=  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 4!Wexd]@  
=i]0  
积化和差 \vnU%L r  
06F/?T{  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M)(K !*0  
{0{5uZS e  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] j{FWoREt  
I8O_n9~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] gei7 7  
7FdN"qxs  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] )`EJ&"8L|{  
lFL\  
诱导公式 "gf[P,! ib  
ZkdDKq  
　　sin(-α) = -sinα 94nBi aj8  
j pzo1^4  
　　cos(-α) = cosα `(WH^)0WUA  
"SL_w{a}J  
　　sin(π/2-α) = cosα n56XyC8r  
!#1YvwQ!M9  
　　cos(π/2-α) = sinα !Zn>_UB  
cDmW-h/  
　　sin(π/2+α) = cosα Z ({? FVv  
;f/9\$^@9  
　　cos(π/2+α) = -sinα @6+}Kvn~XW  
ouE.''.*c  
　　sin(π-α) = sinα }ZxJ= _  
jR q&Rj|Fx  
　　cos(π-α) = -cosα ?? n&u  
JFSc =gM$  
　　sin(π+α) = -sinα JocR32JJ9z  
q \`>(Z/D  
　　cos(π+α) = -cosα wir=& h  
^=Q>>iYm]  
　　tanA= sinA/cosA q!q { G|j  
TDs # P  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |id  
?eEg6pq{N  
　　tan（π/2－α）＝cotα \7MX{r)[m  
A/(&sr >  
　　tan（π－α）＝－tanα hJWk?>b;  
xG^X& `C8  
　　tan（π＋α）＝tanα _== :Wg3'  
\H+cL9  
万能公式 S3E`q,{?  
_*%")_g  
　　 # EI]hv  
c!iK _*  
其它公式 /=jZN4x#-  
4k"!M{  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (vH*k  
?\e !R`-  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 }'CU ((Ei  
L* 4r#  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 *C7RX5q!  
3Q$W^) 06  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 h wS:k66s  
qj2|b\ iT  
　　对于任意非直角三角形,总有 [*#j$za  
`%?Yb5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Nx?XF. f  
riw$a]y=Q  
　　证: xw5i6-  
fO4.<  
　　A+B=π-C 2V?%5: |VR  
HB} 5 Vs  
　　tan(A+B)=tan(π-C) vOg)S ;f  
n'8]$H  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ;A<. mMJ'  
@<cNp!ls  
　　整理可得 J7Y+ xET  
+xa@3OMH  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Hnhf$A<  
*-G TLVX  
　　得证 pS5klP)O0  
WIvq73b  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @Qr_P2x8  
<Tk3?*  
其他非重点三角函数 j^7-G>/(o  
b%^0/nT  
　　csc(a) = 1/sin(a) >B8_"-O  
[EQ'Xmt^  
　　sec(a) = 1/cos(a) o~I^v4mN  
L2Z6fI  
　　  Em%h>D  
P9<d`F)b  
双曲函数 #3M/SSDN{  
>"x8Rp6Aj  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $Wiyp{9O  
/_vDp^e!<  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 " )h   
!OhByU)  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hA@wR'r  
?5 $X`zl|  
　　公式一： MdG0 p3)I3  
5FMbg=;J\  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： C9ZM{i5l  
Hwfu/U\ 6  
　　sin（2kπ＋α）= sinα J#IieHzm  
vMD?V%6]g  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Bf]L!48c  
`u|D !%K{  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?c`u>mF  
NdE!2}}zn5  
　　cot（kπ＋α）= cotα =(5v %4  
HGK 9(i  
　　公式二： e@S" qB!1u  
Whh.[6]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： eAO]g*[K  
jnaIG  
　　sin（π＋α）= -sinα Wv}N61_1  
vqykcz}4\  
　　cos（π＋α）= -cosα M*Z X8"  
L^~Wz&]1dX  
　　tan（π＋α）= tanα V,v_w#a  
X5aOdJXg  
　　cot（π＋α）= cotα ]L$2E^UG  
ecy*PGY  
　　公式三： {ymu+E&2'  
^GTNU=RG>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： D i>w s2  
OHmmu7~t  
　　sin（-α）= -sinα n9hGZj}IU  
Hx5?*w*  
　　cos（-α）= cosα Lxu'#l^kw  
R_3#h0  
　　tan（-α）= -tanα hA-VM?8  
rBd]2},{  
　　cot（-α）= -cotα 8Uk4j  
gW:H[2r B  
　　公式四： 87a,&nQ>Z  
(+33Vph  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <`LP_ l  
0`2;F]~  
　　sin（π-α）= sinα |O7N nA-  
'\@pB|  
　　cos（π-α）= -cosα 4B<`!?yc  
04M!yG#-  
　　tan（π-α）= -tanα #chGI6pm  
[!G;'  
　　cot（π-α）= -cotα @\>oIj8]f  
r#usKF+8;  
　　公式五： %VK5&)o,  
=eY+T4E'I  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ~d{>IP_  
|9_FjfFw<  
　　sin（2π-α）= -sinα I)lLqkQ  
$+d m)&  
　　cos（2π-α）= cosα <we_+T   
_iYUPP  
　　tan（2π-α）= -tanα juVxVW9'  
7zu'BCHf  
　　cot（2π-α）= -cotα @S2QVjbi  
m\1]   
　　公式六： ={#NZa  
,k3/S |L  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u'5,{7[~  
kG0fzvaYz  
　　sin（π/2+α）= cosα ^nN5a'  
+sjehp]I$  
　　cos（π/2+α）= -sinα Q>x rZUr_  
RO^sS  
　　tan（π/2+α）= -cotα .xuD3W'  
-;.j''jgZ  
　　cot（π/2+α）= -tanα ]W`lxWuY  
|+x$LH.C  
　　sin（π/2-α）= cosα v <;ie5  
 mZ\fLo  
　　cos（π/2-α）= sinα ev> GA 2  
\J<Jp-  
　　tan（π/2-α）= cotα UFFD~NO8  
J;`Jnkm  
　　cot（π/2-α）= tanα q&M gr$  
fVVjUtYk  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Wz3O{L/]  
Z.ZUvt  
　　cos（3π/2+α）= sinα \*QtX   
@k,S+HCh  
　　tan（3π/2+α）= -cotα M939A%u?  
en\*Tw  
　　cot（3π/2+α）= -tanα .f1s!b]zQ  
7-M++eIy  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ][KUng+ /  
r2p"<Iy6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @O,;=[@K<  
F+V4',|}  
　　tan（3π/2-α）= cotα qR0$ :b  
^I+iq2o  
　　cot（3π/2-α）= tanα c J:  
@'$!^>  
　　(以上k∈Z) %u[gBB|  
WNZ6jb+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7yr|||Vn=  
FUkkX"7uQ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {f< <:_  
aJb2#v$~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |yyMyF+'x  
{uZCi 7B-_  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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