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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 0PaPp=7(*?  
>fUIz s'  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Zj 1bFYrs  
={R0"`M  
　　1、三角函数本质： oz'_=Y[25  
`!sT6c1(N/  
　　三角函数的本质来源于定义 RYyw`  
W3hlM1 1)  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |Di`H  
b%pIT7|D <  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导  -AQR].F(  
)p{8Tdd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 6)h>$oh  
/:47xLh  
　　推导： Tch!0/ o  
0s?X0c  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 3SF3M' -L  
#%Y+/i(5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) RjdG  
LlHWV?q +  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LoN`#f  
JN!6K<  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 i\Yu/J  
]oym"gJ\  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） qP Y0\ #  
%<~8Q8P#  
　　[1] T2RnmV6G=  
O+z/\[^J  
　　两角和公式 bQn/ uUi  
AP9>7NL*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB @>~ uxn(r|  
piX &/f  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  _6PW  
Q/Ok3t  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB AbT.61C#v  
!v`q_ QKD  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  ,;9O(u5  
DF9c*]  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) -LWe1P,y  
NHyr#~Un  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )d\ #R  
"kb>cbr0~  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  x?8bVBc  
Y.+a(-l  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 66g+7'a5tg  
!<2V"fPMY  
倍角公式 >D EUpz:m  
`5 zBTS/  
　　Sin2A=2SinA•CosA r=h7.Ac]  
vl",.i  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 gw&z$9G}  
zSF" ~Es  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） v*`B"6E.  
,:86";\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） f ' =<Bs&  
SH2).`js  
三倍角公式 {/oOw{  
't_y/$  
　　 D'_6ZYucK  
Logo `MHA  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) z] Zo/QT  
q:6Gic  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) k\^h`VwM  
%rF} z^b  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .{ K/@_b  
wU>, c  
三倍角公式推导 tL N=PC5;  
!y&H+G8:  
　　sin3a uLkP_'$7  
)B)huW  
　　=sin(2a+a) 74@93|  
S @k/n  
　　=sin2acosa+cos2asina P} i l@{6  
Vj>Xqj\@  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina bbWE oz[  
bdu[zkfp  
　　=3sina-4sin³a sXIZiw 7]  
CTgQy=k~1  
　　cos3a ,G$UT/aUs  
ssZhC^;h  
　　=cos(2a+a) L3g$|EW/=  
u'HsRV:  
　　=cos2acosa-sin2asina 7z,Ej\  
GMSe<PEWm  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Q L{vUx]C"  
S,'[ cN  
　　=4cos³a-3cosa Itpn# ;  
Q|HTqZlt  
　　sin3a=3sina-4sin³a H :7ZfH  
i}9>1QV-  
　　=4sina(3/4-sin²a) 0/(X(Sv  
7`!>*<,)P-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U34R3 U4   
gq8rV`  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 9_L@Sjct  
5r{3|51  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 6b,_X(  
x6QHY)a_]O  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1mmUS)H$  
6Wq\U  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q37FThnn]  
:xBio'u  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ,wpJ[':\1  
IS~<G bV$E  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9?ms[n)`T  
FQMT>b<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~.kSGzr  
k2`qy+7  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 0d(mR8k-`  
]n' 5 9  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) K..7TU  
&2mTb@t  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #\(.W})  
.T}cY,\j  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Sks*=?Kp  
r 74bHp  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "Lp]u;L~  
TmXUyvW  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] mI**?RGIgl  
kn|I o  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) J)7~ uE  
/~lLwb3  
　　上述两式相比可得 `{L3\0  
LxmeQa{u  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) n~k'  
ZTQ$ fJrA  
半角公式 \ AL}vpq;4  
}9`cbt3hT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); n,#n1dN  
/!$D{*-!A>  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. hJ_ hQUb  
-+n#pSXL  
和差化积 XKmfd7P  
L L?1W  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ][g D-WVb  
 $j+D]O  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] u?8hjB  
$_\ 6'OZ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Jfe|`Ne  
(W+,> V  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 41;:m~  
-Cuv'p  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \!)M:.Qd=  
cmR*{3o  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) s54cAx  
Rcr!2 ] T  
积化和差 rV [t1!!  
H_B1VkvKz  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] igHRJ5r}t+  
8"h|ELx  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] }Tg=w]S&  
X&8.OR&Vk  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] vj2PxW=%  
H^p n o  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Hf? dg# b  
_S~|%m6  
诱导公式 \v=_b>lj  
Uy`1V%g4a  
　　sin(-α) = -sinα s<@U4Lj 2  
-x7z`D  
　　cos(-α) = cosα C4 -_>~VQ  
~bl8no:  
　　sin(π/2-α) = cosα 1Z:'`\M  
aki#wQ_z  
　　cos(π/2-α) = sinα 0CaHL%P  
Q44(/\cf+V  
　　sin(π/2+α) = cosα K[hB@%9s  
qjV(e(f*9  
　　cos(π/2+α) = -sinα ~3D+e M0  
N<`&NTeQ%s  
　　sin(π-α) = sinα {}=BG3|[  
hI;EmHP  
　　cos(π-α) = -cosα -d9ST9.`  
@3G9[z#{*  
　　sin(π+α) = -sinα !T#eZ%$#  
`|l+@$z  
　　cos(π+α) = -cosα S<0M?Jr  
CHEc[RH;  
　　tanA= sinA/cosA x$ 0>X\s  
[-vr seo  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .WqZeIJ8  
sXG)N $  
　　tan（π/2－α）＝cotα j[G1YQMg  
?6E8b&}G  
　　tan（π－α）＝－tanα &i@%6gWQ  
AS]xd20\C  
　　tan（π＋α）＝tanα uY8/o(_  
j>[{Ib  
万能公式 v3.{O}gm  
J tjb  
　　 :J Y3u  
0mbN ~*  
其它公式 $ ,3Jy|a  
L( p-x&  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 b,.fVxM  
{jXn$qUB  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 z == q>>C  
u)`T`o;QZ  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 bObq}X@- [  
7fkL]_:r  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 VnTl{  
gaO1`>}>B  
　　对于任意非直角三角形,总有 s#Ei " +8  
v|b p  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ye*L"0$q  
x4>nM5j{  
　　证: ML;v6Q}  
T eSAY  
　　A+B=π-C IADEIkr  
 tYWz&5  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @Qw"2VW  
#)o0clI%  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &|\d5FG  
Cx:,$'}  
　　整理可得 roIuPLs)  
c$'P-J^uf  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K)"O>([  
9>n;Oo L  
　　得证 ^K 7KxX  
Eed(b<EWPt  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 J)Jg+:V4p  
<C Fak5G  
其他非重点三角函数 8r}Y3  
wrp>pi&#  
　　csc(a) = 1/sin(a) |m%B%#8  
(0Pr4@0  
　　sec(a) = 1/cos(a) ZzJ-s 9x  
qYOHnWI  
　　 9ce:7|  
i?cek@  
双曲函数 3TBs]42  
UmhF  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 @FS~k1v3W  
c<$![g'u  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 S~(G8i?*  
'F@|G/_  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) KXk9e#k{#  
"fXmIySY  
　　公式一： `v,R'hcX  
/Il;b+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ]q,VoZ$  
^u*}P{P  
　　sin（2kπ＋α）= sinα irRnp';  
WiW~BRA-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα {Vgkd;j  
L<Hm}  
　　tan（kπ＋α）= tanα e0#&0u=  
:34 P{ I q  
　　cot（kπ＋α）= cotα ;x+14iSLb  
R(R ^7-G1h  
　　公式二： $y /5Vb  
*A f mQ[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： v5LqG*  
 kW8{n6'o  
　　sin（π＋α）= -sinα 8Xo`F7^uX  
u;FMC^zP  
　　cos（π＋α）= -cosα >q8zkHs  
\  hDQ  
　　tan（π＋α）= tanα NReP0qfE/  
/VSeD 6V  
　　cot（π＋α）= cotα kv FqHiQ  
DMy x '9Fm  
　　公式三： Fl&M,B\  
<{(_ <bM  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [Et},0Lr  
K#2,.b{44  
　　sin（-α）= -sinα ~AVp$ /{  
~oE\V  
　　cos（-α）= cosα `FGYL3 R  
oO|jLA09  
　　tan（-α）= -tanα &]-h;g(  
[1nPbOa  
　　cot（-α）= -cotα rfpUbC:f7  
eU0$}Q  
　　公式四： 4/JM7Uj7  
D3~i,r\  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： y2q/IQ<_N  
816_Y?`sc  
　　sin（π-α）= sinα xn[DzI8Q  
H`H~RR}=y  
　　cos（π-α）= -cosα c7Edm  
CP*Q6Mx3  
　　tan（π-α）= -tanα 6avj6 @  
j&m ~ |nN  
　　cot（π-α）= -cotα _Ju2* $[  
t7GB~%^  
　　公式五： Ix4P'3&&7  
|/"$56#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： *x (%Y\  
)VX+ g  
　　sin（2π-α）= -sinα m;SRdtt$;  
C!SP;A*  
　　cos（2π-α）= cosα XpmxivLr[  
pjNgCv_Lx  
　　tan（2π-α）= -tanα N;Gx'T+D}  
*4wyhdOiI  
　　cot（2π-α）= -cotα tjm_.  
DRZBx&hi  
　　公式六： Zs&xhZ  
_Pr?fGZJ}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： qKI*||`U  
x(L[XPic  
　　sin（π/2+α）= cosα 3jB$Ci +<  
/={<HF?P  
　　cos（π/2+α）= -sinα '@Q-PEG  
Slu)Ob!e  
　　tan（π/2+α）= -cotα mC9|DJ!  
cd$,beK.  
　　cot（π/2+α）= -tanα j6'DwZL<XZ  
\q0U{_)%  
　　sin（π/2-α）= cosα X;e9m4p  
;1,![B0  
　　cos（π/2-α）= sinα 1 F&k,.Wh  
I Am^>  
　　tan（π/2-α）= cotα 5z pF}QG  
` )P'cL$  
　　cot（π/2-α）= tanα 8_H>9V #0+  
9'eAwoA  
　　sin（3π/2+α）= -cosα }@U_1dhX  
H95Ka5TqQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα |c),Ip  
) ]GX@rIp  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }9"W rv  
L/VjUX7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα KQ]m_}  
HV& GVHhY  
　　sin（3π/2-α）= -cosα rz(|Sm!}  
QO,V/2-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα \-Jwb?7"'  
/`FV!]  
　　tan（3π/2-α）= cotα ,!_,L8dt  
Qv1'i5P M  
　　cot（3π/2-α）= tanα p(H0*ROPl  
5yp8dw{Lu  
　　(以上k∈Z) M2C*<c1(  
Sol|~~R  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .36Hr'b<  
`/ 39Ros=  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = RQM.d,  
N<ZtcyAb  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }Q{sB Ye&  
ul-Fh3/!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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